NAUKA MLADIMA

Matematika - I godina gimnazije

 

Geometrija

20. Teme ugla α je spoljašnja tačka kruga k. Kraci tog ugla određuju na krugu dva luka, koji su u razmeri 3:10. Veći od tih lukova odgovara centralnom uglu od β=40^O. Kolika je mera ugla α.  Rešenje

 

 Problemi sa polinomima

3. Odrediti a i b tako da polinom  bude potpun kvadrat.   Rešenje

483. Ako je  a + b + c = 0 , dokazati da je   (a² + b² + c²)² = 2(a⁴+ b⁴+ c⁴).   Rešenje

484. Ako je  x + y + z = 0 , i  x² + y² + z² = 1, izračunati  x⁴ + y⁴ + z⁴.   Rešenje

 

Funkcije 

1. Date su funkcije f(x) = 3x - 4 i g(x) = x - 1. Odredi g ◦ f ^-1.   Rešenje

2. Date su funkcije f(x) = 4x + 2 i g(x) =6 x - 5. Odredi f ◦ g ^-1.  Rešenje poslala Lara

107a.Odrediti funkcije f(x) i g(x), koje zadovoljavaju sisteme:  i . Rešenje

107b.Odrediti funkcije f(x) i g(x), koje zadovoljavaju sisteme:   i  . Rešenje

Kombinatorika

118. Po dnevnom školskom rasporedu danas su predviđeni sledeći časovi: engleski jezik, istorija, matematika, fizika i biologija. Na koliko različitih načina je moguće načiniti dnevni raspored, ako je za danas predviđeno: a) jedan čas matematike; b) dva časa matematike?

120. U koliko se permutacija elemenata a,b,c,d,e elementi a i e nalaze na krajevima ( na prvom i na poslednjem mestu ) ?

123. Napisati sve permutacije od elemenata a a b b c.

125. Koliko različitih petocifrenih brojeva možemo napisati od cifara 1, 2, 2, 2, 3 ?

132. U razredu ima 18 dečaka i 10 devojčica. Treba izabrati dva dečaka i 1 devojčicu u rukovodstvo razredne zajednice. Na koliko je načina moguće izabrati rukovodstvo?

135. Koliko se različitih trouglova može dobiti spajanjem temena proizvoljnog sedmougla?
 

Matematička indukcija

 

1080 a. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:   .  Rešenje

1080 b. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:  .  Rešenje

1080 c. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:    . Rešenje

1080 d. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:   . Rešenje

1080 e. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:  .  Rešenje

1081 a. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:   .  Rešenje

1081 b. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:   . Rešenje

1081 c. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi:   .

1084 a. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0:    .  Rešenje

1084 b. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0:    .  Rešenje

1084 c. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0:   .   Rešenje

1084 d. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0:  .  Rešenje

1084 e. Dokazati da je za sve prirodne brojeve n ≥ 0 :   .   Rešenje

 

Rastavljanje polinoma na činioce

1. Rastaviti na činioce:

        a) 5ax + 5ay – x –y
        b) (x – y)² – 16(x + y)²            Rešenje

2. Rastaviti na činioce:

        a) 0,125x³  – (x + 1)³
        b) (x + 2y)³ – (3x – 2y)³          Rešenje

842. Rastaviti na činioce sledeće kvadratne trinome:

        a) ;       b) ;        c) ;        d)   .  Rešenje

 

Celi brojevi

8. Odrediti sva rešenja jednačine  х² + у²+z²+xy+yz+zx = 6, ako su x,y i z celi brojevi.  Rešenje

236. Odrediti sve prirodne trocifrene brojeve koji pri deljenju sa 7 daju ostatak 2, pri deljenju sa 9 daju ostatak 4 i pri deljenju sa 12 daju ostatak 7. Rešenje

237. Pitali prodavca koliko jabuka ima u korpi. On je odgovorio: ”Ako ih brojim po dve, ili po tri ili po četiri ili po pet ili po šest, uvek mi jedna pretekne (ostane). Ako ih brojim po sedam, ne ostane mi ni jedna.“ Koliko je bilo jabuka u korpi? Odrediti najmanji broj jabuka koji zadovoljava navedene uslove.  Rešenje

239. Odredi sve trocifrene prirodne brojeve koje imaju zbir cifara 10 i deljivi su sa 11.

240. Ako je n prirodan broj onda n² – n + 2001 nije deljivo sa 2002 ni za jedan prirodan broj n. Dokazati.

 

Algebarski razlomci 

499. 8) Sabrati razlomke: .  Rešenje

 

---